Question

7．P是抛物线上x²=4y上的动点，Q（0，m）是定点，以PQ为直径的圆始终与直线y=0相切，则实数m的值为1．

Answer 1

分析 由题意可设P（t，$\frac{1}{4}$t²），求出以PQ为直径的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，结合恒成立思想，即可得到m的值．

解答 解：由题意可设P（t，$\frac{1}{4}$t²），
以PQ为直径的圆的圆心为（$\frac{1}{2}$t，$\frac{1}{8}$t²+$\frac{1}{2}$m），
半径r=$\sqrt{\frac{1}{4}{t}^{2}+（\frac{1}{8}{t}^{2}-\frac{1}{2}m）^{2}}$，
由直线和圆相切，可得
$\frac{1}{8}$t²+$\frac{1}{2}$m=$\sqrt{\frac{1}{4}{t}^{2}+（\frac{1}{8}{t}^{2}-\frac{1}{2}m）^{2}}$，
化简可得$\frac{1}{4}$mt²=$\frac{1}{4}$t²，
由t为任意实数，则m=1．
故答案为：1．

点评 本题考查抛物线的方程的运用，同时考查直线和圆相切的条件：d=r，考查恒成立思想，属于中档题．