Question

7．设函数f（x）=1+$\frac{sinx}{1+cosx}$的所有正的零点从小到大依次为x₁，x₂，x₃，…，设α=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₅，则cosα的值是（　　）

• A． 0
• B． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由条件可得sinx+cosx=-1，且1+cosx≠0，求得x=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z；从而求得α=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₅的值；再利用诱导公式求得cosα的值．

解答 解：令函数f（x）=1+$\frac{sinx}{1+cosx}$=0，求得sinx+cosx=-1，且1+cosx≠0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosx=0}\\{sinx=-1}\end{array}\right.$，∴x=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z．
由题意可得x₁ =$\frac{3π}{2}$，x₂ =2π+$\frac{3π}{2}$，x₃ =4π+$\frac{3π}{2}$，…，x₂₀₁₅ =2014×2π+$\frac{3π}{2}$，
∴α=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₅=（1+2+3+…+2014）2π+2015×$\frac{3π}{2}$，
∴cosα=cos（2015×$\frac{3π}{2}$）=cos（3022π+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{π}{2}$=0，
故选：A．

点评 本题主要考查函数零点的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．