Question

2．已知函数f（x）=x²+ax+3-a，x∈[-2，2]时，求：
（1）f（x）的最小值；
（2）f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）首先求二次函数f（x）的对称轴x=-$\frac{a}{2}$，讨论对称轴和区间[-2，2]的关系：分$-\frac{a}{2}≤-2，-2＜-\frac{a}{2}＜2，-\frac{a}{2}≥2$三种情况，根据f（x）的单调性及取得顶点的情况求f（x）的最小值；
（2）根据（1）分成的三种情况，对应着求出每种情况下f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）f（x）的对称轴为$-\frac{a}{2}$；
∴①$-\frac{a}{2}≤-2$，即a≥4时，f（x）在[-2，2]上单调递增；
∴f（x）的最小值为f（-2）=7-3a；
②-2＜$-\frac{a}{2}＜2$，即-4＜a＜4时，f（$-\frac{a}{2}$）=$-\frac{{a}^{2}}{4}-a+3$为f（x）的最小值；
③$-\frac{a}{2}≥2$，即a≤-4时，f（x）在[-2，2]上单调递减；
∴f（x）的最小值为f（2）=a+7；
（2）由上面知，①a≥4时，f（2）=a+7为f（x）的最大值；
②-4＜a＜4时，f（-2）=7-3a，f（2）=7+a；
∴-4＜a＜0时，f（-2）＞f（2），∴此时f（x）的最大值为f（-2）=7-3a；
a=0时，f（-2）=f（2）=7，∴此时f（x）的最大值为7；
0＜a＜4时，f（-2）＜f（2），∴此时f（x）的最大值为7+a；
③a≤-4时，f（-2）=7-3a为f（x）的最大值．

点评 考查二次函数对称轴，根据对称轴和闭区间的关系讨论二次函数在闭区间上最值的方法，利用增函数或减函数的定义以及取得顶点的情况求二次函数最值的方法．