Question

9．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（-1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求点P到直线l的距离的最大值；
（3）设点P在直线l上的射影为点M，N的坐标为（2，1），求线段MN长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把直线方程变形得，2x+y+m（y+2）=0，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}2x+y=0\\ y+2=0.\end{array}\right.$，求得方程组的解即为直线l恒过的定点．
（2）设点P在直线l上的射影为点M，由题意可得|PM|≤|PQ|，再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值．
（3）直线l绕着点Q（1，-2）旋转，可得点M在以线段PQ为直径的圆上，其圆心为点C（0，-1），半径为$\sqrt{2}$，求出$|{CN}|=2\sqrt{2}$，从而可得线段MN长的取值范围．

解答 （1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，
∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}2x+y=0\\ y+2=0.\end{array}\right.$，得Q（1，-2），
∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，-2）．
（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，
当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，
∴点P到直线l的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于$\sqrt{（-1-1）^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{2}$．
（3）∵直线l绕着点Q（1，-2）旋转，
∴点M在以线段PQ为直径的圆上，其圆心为点C（0，-1），半径为$\sqrt{2}$，因为N的坐标为（2，1），
∴$|{CN}|=2\sqrt{2}$，从而$\sqrt{2}≤|{MN}|≤3\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线系方程问题，考查了直线和圆的位置关系，正确理解题意是关键，是中档题．