Question

17．已知函数f（x）=e^x-x-2（e是自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的图象在点A（0，-1）处的切线方程；
（2）若k为整数，且当x＞0时，（x-k+1）f′（x）+x+1＞0恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到函数在x=0时的导数，然后由直线方程的点斜式求得切线方程；
（2）把当x＞0时，（x-k+1）f′（x）+x+1＞0恒成立，转化为$k＜\frac{x+1}{{e}^{x}-1}+x+1$，构造函数$g（x）=\frac{x+1}{{e}^{x}-1}+x+1$，利用导数求得函数g（x）的最小值的范围得答案．

解答 解：（1）f（x）=e^x-x-2，f′（x）=e^x-1，
∴f′（0）=0，则曲线f（x）在点A（0，-1）处的切线方程为y=-1；
（2）当x＞0时，e^x-1＞0，∴不等式，（x-k+1）f′（x）+x+1＞0可以变形如下：
（x-k+1）（e^x-1）+x+1＞0，即$k＜\frac{x+1}{{e}^{x}-1}+x+1$ ①
令$g（x）=\frac{x+1}{{e}^{x}-1}+x+1$，则${g}^{′}（x）=\frac{-x{e}^{x}-1}{（{e}^{x}-1）^{2}}+1=\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，
函数h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点．
设此零点为a，则a∈（1，2）．
当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（a）．由g′（a）=0，可得e^a=a+2，
∴g（a）=a+2∈（3，4），由于①式等价于k＜g（a）．
故整数k的最大值为3．

点评 本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了函数恒成立问题，着重考查了数学转化思想方法，考查了函数最值的求法，属中高档题．