Question

5．已知函数f（x）=e^x-ax-2（e是自然对数的底数a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若k为整数，a=1，且当x＞0时，$\frac{k-x}{x+1}$f′（x）＜1恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出导数，讨论a≤0，a＞0，求出函数的增区间；
（2）运用参数分离可得k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x（x＞0），求出导数，求单调区间，运用零点存在定理，求得零点，即可得到k的最大值．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a．
若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增，
若a＞0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上单调递增．
综上，当a≤0时，f（x）的增区间为（-∞，+∞）；当a＞0时，f（x）的增区间为（lna，+∞）；
（2）由于a=1，所以$\frac{k-x}{x+1}$f′（x）＜1?（k-x）（e^x-1）＜x+1，
当x＞0时，e^x-1＞0，故（k-x）（e^x-1）＜x+1?k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x----①，
令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x（x＞0），则g′（x）=$\frac{-x{e}^{x}-1}{（{e}^{x}-1）^{2}}$+1=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$
函数h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，
即g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，
设此零点为a，则a∈（1，2）．
当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0；
所以，g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（a）．由g′（a）=0可得e^a=a+2，
所以，g（a）=a+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（a）．
故整数k的最大值为2．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立思想的运用，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．