Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，点D为椭圆C的左顶点，对于正常数λ，如果存在过点M（x₀，0）（-2＜x₀＜2）的直线l与椭圆C交于A，B两点，使得S_△AOB=λS_△AOD，则称点M为椭圆C的“λ分点“．
（1）判断点M（1，0）是否为椭圆C的“1分点“，并说明理由；
（2）证明：点M（1，0）不是椭圆C的“2分点”；
（3）如果点M为椭圆C的“2分点“，写出x₀的取值范围．

Answer 1

分析 （1）点M（1，0）为椭圆C的“1分点“，当直线l的斜率不存在，即为x=1．代入椭圆方程，计算即可判断；
（2）假设点M（1，0）是椭圆C的“2分点”，即有S_△AOB=2S_△AOD，设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，计算即可判断；
（3）如果点M为椭圆C的“2分点“，即有S_△AOB=2S_△AOD，设直线l的方程为x=my+x₀，代入椭圆方程，运用韦达定理，计算即可得到所求范围．

解答 解：（1）点M（1，0）为椭圆C的“1分点“，
理由是：当直线l的斜率不存在，即为x=1．
将x=1代入椭圆方程得y²=1-$\frac{1}{4}$，
解得y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$×$1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，S_△AOD=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有S_△AOB=S_△AOD，
则点M（1，0）为椭圆C的“1分点“；
（2）证明：假设点M（1，0）是椭圆C的“2分点”，
即有S_△AOB=2S_△AOD，
设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程可得，
（4+m²）y²+2my-3=0，
判别式4m²+12（4+m²）＞0，显然成立，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y₁+y₂=-$\frac{2m}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{m}^{2}}$，
由S_△AOB=2S_△AOD，
即为$\frac{1}{2}$•|OM|•|y₁-y₂|=2$•\frac{1}{2}$•|OD|•|y₁|，
由|OM|=1，|OD|=2，
化简可得y₂=-3y₁（y₂=5y₁舍去），
代入韦达定理可得，
（$\frac{m}{4+{m}^{2}}$）²=$\frac{1}{4+{m}^{2}}$，
解得m∈∅，
则有点M（1，0）不是椭圆C的“2分点”；
（3）如果点M为椭圆C的“2分点“，
即有S_△AOB=2S_△AOD，
设直线l的方程为x=my+x₀，代入椭圆方程可得，
（4+m²）y²+2mx₀y+x₀²-4=0，
判别式（2mx₀）²-4（4+m²）（x₀²-4）＞0，
即为m²＞x₀²-4，由-2＜x₀＜2，
△＞0显然成立，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可设y₁＞0，y₂＜0，
y₁+y₂=-$\frac{2m{x}_{0}}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$，
由S_△AOB=2S_△AOD，
即为$\frac{1}{2}$•|OM|•|y₁-y₂|=2$•\frac{1}{2}$•|OD|•|y₁|，
由|OM|=|x₀|，|OD|=2，
即有y₂=（1-$\frac{4}{|{x}_{0}|}$）y₁，
代入韦达定理可得，
$\frac{（2-\frac{4}{|{x}_{0}|}）^{2}}{1-\frac{4}{|{x}_{0}|}}$=$\frac{4{m}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，
由m²＞0即为（1-$\frac{4}{|{x}_{0}|}$）（x₀²-4）＞0，
由-2＜x₀＜2，可得|x₀|＜2，x₀²＜4，
则有x₀的取值范围为（-2，0）∪（0，2）．

点评 本题主要考查新定义的理解和运用，考查椭圆的方程和性质，同时考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．