Question

8．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中E、F分别在BB₁、DD₁上且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
（1）求证：A₁C⊥面AEF；
（2）若AB=4，AD=3，AA₁=5，求异面直线A₁C、BD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知数量关系可得A₁C⊥AE，A₁C⊥AF，由线面垂直的判定定理可得；
（2）建立坐标系，可得$\overrightarrow{{A}_{1}C}$和$\overrightarrow{BD}$的坐标，由直线的夹角和向量夹角的关系可得．

解答 解：（1）如图所示，∵CB⊥平面A₁B，
∴A₁C在平面A₁B上的射影为A₁B，
由A₁B⊥AE，AE?平面A₁B可得A₁C⊥AE，
同理可证A₁C⊥AF，
∵A₁C⊥AF，A₁C⊥AE，AF∩AE=A，
∴A₁C⊥平面AEF；
（2）建立如图所示的坐标系，
由AB=4，AD=3，AA₁=5可得A₁（3，0，0），
C（0，4，5），B（3，4，5），D（0，0，5），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-3，4，5），$\overrightarrow{BD}$=（-3，-4，0）
∴异面直线A₁C、BD所成角的余弦值为|cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，$\overrightarrow{BD}$＞|
=$\frac{|9-16|}{\sqrt{（-3）^{2}+{4}^{2}+{5}^{2}}•\sqrt{（-3）^{2}+（-4）^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{50}$

点评 本题考查异面直线所成的角和线面垂直的判定，涉及空间向量的夹角，属中档题．