Question

10．已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，且|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=4，M为线段BC上一点，且$\overrightarrow{AM}=λ\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{AB}|}}+μ\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AC}|}}$（λ，μ∈R），则λμ的最大值为$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 由题意$\overrightarrow{AM}=λ\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{AB}|}}+μ\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AC}|}}$=$\frac{λ}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{μ}{5}\overrightarrow{AC}$，根据共线向量基本定理存在x，使$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+（1-x）\overrightarrow{AC}$成立，利用向量相等，即可得到关于λ，μ的等式，求λμ最大值即可

解答 解：由已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，且|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=4，得到AB⊥BC，所以AC=5，
所以$\overrightarrow{AM}=λ\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{AB}|}}+μ\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AC}|}}$=$\frac{λ}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{μ}{5}\overrightarrow{AC}$，根据共线向量基本定理存在x，使$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+（1-x）\overrightarrow{AC}$成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{3}=x}\\{\frac{μ}{5}=1-x}\end{array}\right.$，所以$\frac{λ}{3}+\frac{μ}{5}=1$，所以$\frac{λ}{3}+\frac{μ}{5}≥2\sqrt{\frac{λμ}{15}}$，当且仅当$\frac{λ}{3}=\frac{μ}{5}$时等号成立，所以λμ≤$\frac{15}{4}$；即λμ的最大值为$\frac{15}{4}$；
故答案为：$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查向量的加法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理，利用基本不等式求乘积的最大值．属于中档题．