Question

9．已知函数f（x）=Asin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$），x∈R，且f（-2015）=3
（1）求A的值．
（2）指出函数f（x）在x∈[0，8]上的单调区间（不要求过程）．
（3）若f（$\frac{4a}{π}$-1）+f（$\frac{4a}{π}$+1）=$\frac{3}{5}$，a∈[0，π]，求cos2a．

Answer 1

分析 （1）由题意及诱导公式可得sin（$\frac{-1007π}{2}$）=Asin（$\frac{-1007π+1008π}{2}$）=Asin$\frac{π}{2}$=A，即可解得A；
（2）由正弦函数的性质即可求得函数f（x）的单调递增区间，单调递减区间；
（3）由诱导公式化简已知等式可得sin$α+cosα=\frac{1}{5}$，α∈[0，π]，从而可求sin2α，结合范围α∈[0，π]，sin$α+cosα=\frac{1}{5}$＞0，可求2α范围，利用同角三角函数关系式即可得解．

解答 解：（1）∵由题意，f（-2015）=Asin（$\frac{-2015π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=Asin（$\frac{-1007π}{2}$）=Asin（$\frac{-1007π+1008π}{2}$）=Asin$\frac{π}{2}$=A，
∴解得：A=3…（4分）
（2）函数f（x）的单调递增区间为[0，1]，[5，8]，单调递减区间为[1，5]…（6分）
（3）∵f（$\frac{4α}{π}$-1）+f（$\frac{4α}{π}$+1）=3sin[$\frac{π}{4}$×（$\frac{4α}{π}$-1）+$\frac{π}{4}$]+3sin[$\frac{π}{4}$×（$\frac{4α}{π}$+1）+$\frac{π}{4}$]=3sinα+3sin（$α+\frac{π}{2}$）=3sinα+3cosα=$\frac{3}{5}$，
∴sin$α+cosα=\frac{1}{5}$，α∈[0，π]，
由（sinα+cosα）²=$\frac{1}{25}$可得：2sinαcosα=-$\frac{24}{25}＜0$，
即sin2α=-$\frac{24}{25}$，
又∵α∈[0，π]，sin$α+cosα=\frac{1}{5}$＞0，
∴$α∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}]$，
∴2$α∈[π，\frac{3π}{2}]$，
∴cos2α＜0，
∴由sin²2α+cos²2α=1可解得：cos2α=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=-$\sqrt{1-（-\frac{24}{25}）^{2}}$=-$\frac{7}{25}$…（12分）

点评 本题主要考查了复合三角函数的单调性，二倍角的余弦公式，诱导公式，同角三角函数关系式以及三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．