Question

1．已知函数f（x）=x²-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线x+3y+2=0垂直．执行如图所示的程序框图，输出的k值是15．

Answer 1

分析 求导数，根据导数的几何意义，结合函数f（x）=x²-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y=0垂直，建立方程，即可求出a的值，从而可求f（x）解析式，模拟运行程序，可得程序框图的功能是求S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+..+$\frac{1}{{k}^{2}+k}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}）$=1-$\frac{1}{k+1}$=$\frac{k}{k+1}$＞$\frac{14}{15}$时k的值，
从而得解．

解答 解：∵f（x）=x²-ax，
∴f′（x）=2x-a，
∴根据导数的几何意义，y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2-a，
∵函数f（x）=x²-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y=0垂直，
∴（2-a）×（-$\frac{1}{3}$）=-1，
∴a=-1，
∴f（x）=x²+x，
∴$\frac{1}{f（x）}=\frac{1}{{x}^{2}+x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$
从而模拟程序运行，可得程序框图的功能是求S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+..+$\frac{1}{{k}^{2}+k}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}）$=1-$\frac{1}{k+1}$=$\frac{k}{k+1}$＞$\frac{14}{15}$时k的值，
可解得：k＞14，
故答案为：15．

点评 本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程，具体涉及到导数的几何意义，直线垂直的性质等知识点，还考查了程序框图和算法，考查了循环结构，属于基本知识的考查．