Question

6．求函数f（x，y）=ln（1+x²+y²）+1-$\frac{{x}^{3}}{15}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$的极值．

Answer 1

分析 先求f′_x（x，y），f′_y（x，y），并令它们为0，求得驻点，再分别求得令A=f′′_xx（x，y），B=f′′_xy（x，y），C=f′_yy（x，y），根据二元函数的极值定理，计算即可得到极值．

解答 解：f′_x（x，y）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}+{y}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=0，
且f′_y（x，y）=$\frac{2y}{1+{x}^{2}+{y}^{2}}$-$\frac{y}{2}$=0，
解得x=0，y=0或y=$±\sqrt{3}$，x=±3，y=0．
即有驻点为（0，0），（0，$\sqrt{3}$），（0，-$\sqrt{3}$），
（3，0），（-3，0），
令A=f′′_xx（x，y）=-$\frac{2}{5}$x+$\frac{2（1+{y}^{2}-{x}^{2}）}{（1+{x}^{2}+{y}^{2}）^{2}}$，
B=f′′_xy（x，y）=$\frac{-4xy}{（1+{x}^{2}+{y}^{2}）^{2}}$，
C=f′_yy（x，y）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{2（1+{x}^{2}-{y}^{2}）}{（1+{x}^{2}+{y}^{2}）^{2}}$，
则代入点（0，0），A=2，B=0，C=$\frac{3}{2}$，B²-AC＜0，
则为极小值点，f（x，y）有极小值0；
代入点（0，$\sqrt{3}$），A=$\frac{1}{2}$，B=0，C=-$\frac{3}{4}$，B²-AC＞0，
不为极值点；
代入点（0，-$\sqrt{3}$），A=$\frac{1}{2}$，B=0，C=-$\frac{3}{4}$，B²-AC＞0，
不为极值点；
代入点（3，0），A=-$\frac{34}{25}$，B=0，C=-$\frac{3}{10}$，B²-AC＜0，
则为极大值点，f（x，y）有极大值ln10-$\frac{4}{5}$；
代入点（-3，0），A=$\frac{26}{25}$，B=0，C=-$\frac{3}{10}$，B²-AC＞0，
则不为极值点．
综上可得，f（x，y）的极大值为ln10-$\frac{4}{5}$，极小值为0．

点评 本题主要考查二元函数的极值的求法，注意解题步骤，考查运算能力，属于中档题．