Question

11．已知a，b为正实数，求证：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+8ab≥8，并求等号成立的条件．

Answer 1

分析 利用综合法，结合基本不等式由左至右证明即可．

解答 证明：a，b为正实数，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}•\frac{1}{{b}^{2}}}$=$\frac{2}{ab}$，当且仅当a=b时等号成立．
又$\frac{2}{ab}$+8ab≥2$\sqrt{\frac{2}{ab}•8ab}$=8，当且仅当ab=$\frac{1}{4}$时等号成立，
当a=b=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+8ab=8．
∴a，b为正实数，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+8ab≥8．

点评 本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，考查逻辑推理能力．