Question

17．若实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y-1≥0\\ 2x-y-2≤0\\ x-2y+2≥0\end{array}\right.$，则x-3y的最小值为-4，点P（x，y）所组成的平面区域的面积为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：设z=x-3y，则得y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$，
由图象可知当直线y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$经过点A时，直线y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$的截距最大，
此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（2，2）．
将A（2，2）代入目标函数z=x-3y，
得z=2-3×2=2-6=-4．
∴目标函数z=x-3y的最小值是-4．
∵B（0，1），C（1，0），D（2，0），
∴△ABC的面积S=$\frac{（1+2）×2}{2}$-$\frac{1}{2}×1×1$$-\frac{1}{2}×1×2$=$\frac{3}{2}$，
故答案为：-4，$\frac{3}{2}$

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．