Question

18．在平行四边形ABCD中，AD=a，AB=2a，∠ADC=60°，M，N分别为AB，CD的中点，以MN为折痕把平行四边形折成三棱柱AMB-DNC的两个侧面，求三棱柱体积的最大值．

Answer 1

分析 由A到DC的距离为折叠后棱柱的高，再由公式$S=\frac{1}{2}absinC$求出底面积的最大值得答案．

解答 解：三棱柱的高是N到底面AMB的距离，等于AD•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
要使三棱柱体积最大，则底面AMB的面积最大，由于AM=MB=a，
${S}_{△AMB}=\frac{1}{2}{a}^{2}sin∠AMB$，当sin∠AMB=1时，△AMB的面积S最大，等于$\frac{1}{2}{a}^{2}$．
∴三棱柱体积的最大值为$\frac{1}{2}{a}^{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{3}$．

点评 本题考查了棱柱体积的求法，训练了利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}absinC$求面积，关键是明确棱柱的高为定值，是基础题．