Question

5．已知$α∈（-\frac{π}{2}，0），\;β∈（0，\;\frac{π}{4}）$，$\frac{1}{2}-{sin^2}\frac{α}{2}=\frac{tanβ}{{1+{{tan}^2}β}}$，则有（　　）

• A． $2β-α=\frac{π}{2}$
• B． $2β+α=\frac{π}{2}$
• C． $2β-α=-\frac{π}{2}$
• D． $2β+α=-\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 直接利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式化简已知条件，然后求解即可．

解答 解：由$\frac{1}{2}-si{n}^{2}\frac{α}{2}=\frac{tanβ}{1+{tan}^{2}β}$，
可得$\frac{1}{2}$cosα=$\frac{sinβcosβ}{{cos}^{2}β+{sin}^{2}β}$，
可得cosα=sin2β，
即sin（$\frac{π}{2}-α$）=sin2β．
∵$α∈（-\frac{π}{2}，0），β∈（0，\frac{π}{4}）$，
∴$\frac{π}{2}-α∈$$（\frac{π}{2}，π）$，$2β∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$π-（\frac{π}{2}-α）=2β$，
∴$2β-α=\frac{π}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式的应用，三角方程的求法，考查计算能力．