Question

3．若F₁，F₂是椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞2b＞0）的两个焦点，分别过F₁，F₂作倾斜角为45°的两条直线与椭圆相交于四点，以该四点为顶点的四边形和一椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积比等于$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求该椭圆的离心率（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 由点斜式方程求出过F₁（-c，0）的直线方程，设直线y=x+c与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程化简后利用韦达定理求出|y₁-y₂|，由条件列出方程化简，利用椭圆基本量的关系和离心率公式求出e即可．

解答 解：由题意得，过F₁（-c，0）倾斜角是45°的直线方程是y=x+c，如图：
设直线y=x+c与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$得，（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，
则y₁+y₂=$\frac{2{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$（{y}_{1}{-y}_{2}）^{2}$=${（{y}_{1}{+y}_{2}）}^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}$=$（\frac{2{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}）^{2}-4×（-\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}+{b}^{2}}）$=$\frac{8{a}^{2}{b}^{4}}{{（a}^{2}+{b}^{2}）^{2}}$，
则|y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{2}{ab}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴以该四点为顶点的四边形的面积S₁=|F₁F₂||y₁-y₂|=2c•$\frac{2\sqrt{2}{ab}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}{acb}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∵椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积是S₂=2ab，
∴$\frac{\sqrt{2}bc}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，化简得2b²+c²=3bc，
（2b-c）（b-c）=0，2b=c或b=c；
∴a²=b²+4b²=5b²或a²=2b²，
又∵a＞2b＞0，∴a²=5b²，则c²=4b²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2b}{\sqrt{5}b}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故选：B．

点评 本题考查椭圆的离心率，以及圆锥曲线与直线的位置关系应用，考查化简、变形能力，属于中档题．