Question

9．已知2ax²+bx-3a+1≥0，在x∈[-4，4]上恒成立，求5a+b的最小值．

Answer 1

分析 由2ax²+bx-3a+1≥0在x∈[-4，4]上恒成立，得a≤$\frac{1}{3}$，再分类讨论，利用线性规划知识求解，即可求出5a+b的最小值．

解答 解：由2ax²+bx-3a+1≥0恒成立，得a≤$\frac{1}{3}$．
①0＜a≤$\frac{1}{3}$时，问题等价于$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{4a}≤-4}\\{f（-4）≥0}\end{array}\right.$（1）或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{4a}≥4}\\{f（4）≥0}\end{array}\right.$（2）或f（-$\frac{b}{4a}$）≥0（3）．
由（1）得$\left\{\begin{array}{l}{16a-b≤0}\\{29a-4b+1≥0}\end{array}\right.$，对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点O（0，0）时，取得最小值0；

由（2）得$\left\{\begin{array}{l}{16a+b≤0}\\{29a+4b+1≥0}\end{array}\right.$对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点A（$\frac{1}{35}，-\frac{16}{35}$）时，取得最小值-$\frac{11}{35}$

由（3）得24a²-8a+b²≤0，对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点B（$\frac{1}{21}，-\frac{12}{21}$）时，取得最小值-$\frac{1}{3}$；

②a≤0时，问题等价于$\left\{\begin{array}{l}{f（-4）≥0}\\{f（4）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{29a-4b+1≥0}\\{29a+4b+1≥0}\end{array}\right.$，对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点C（0，-$\frac{1}{4}$）时，取得最小值-$\frac{1}{4}$，

综上，a=$\frac{1}{21}$，b=-$\frac{12}{21}$时，取得最小值-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，体现了分类讨论的数学思想方法，属于难题．