Question

7．若函数f（x）=-lnx+ax²+bx-a-2b有两个极值点x₁，x₂，其中-$\frac{1}{2}＜a＜0$，b＞0，且f（x₂）=x₂＞x₁，则方程2a[f（x）]²+bf（x）-1=0的实根个数为5．

Answer 1

分析 由函数f（x）=-lnx+ax²+bx-a-2b有两个极值点x₁，x₂，可得2ax²+bx-1=0有两个不相等的正根，必有△=b²+8a＞0．而方程2a（f（x））²+bf（x）-1=0的△₁=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x₁或x₂．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x₁或f（x）=x₂解的个数．

解答 解：∵函数f（x）=-lnx+ax²+bx-a-2b有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=-$\frac{1}{x}$+2ax+b=$\frac{2a{x}^{2}+bx-1}{x}$，
即为2ax²+bx-1=0有两个不相等的正根，
∴△=b²+8a＞0．解得x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}+8a}}{4a}$．
∵x₁＜x₂，-$\frac{1}{2}＜a＜0$，b＞0，
∴x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}+8a}}{4a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+8a}}{4a}$．
而方程2a（f（x））²+bf（x）-1=0的△₁=△＞0，
∴此方程有两解且f（x）=x₁或x₂
即有0＜x₁＜x₂，：∵x₁，x₂＞0又x₁x₂=-$\frac{1}{2a}$＞1
∴x₂＞1，∵f（1）=-b＜0∴f（x₁）＜0，
f（x₂）＞0．
①根据f′（x）画出f（x）的简图，
∵f（x₂）=x₂，由图象可知方程f（x）=x₂有两解，方程f（x）=x₁有三解．
综上①②可知：方程f（x）=x₁或f（x）=x₂共有5个实数解．
即关于x的方程2a（f（x））²+bf（x）-1=0的共有5不同实根．
故答案为：5．

点评 本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了图象平移的思想方法、推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力．