Question

1．数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=1，S_n-2S_n-1=1（n∈N^*，n≥2），数列{b_n}的前n项和为T_n，满足b₁=1，T_n=n²b_n，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若对n∈N^*，恒有S_n+1＞$\frac{λ}{{b}_{n}}$成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a_n-2a_n-1=（S_n-2S_n-1）-（S_n-1-2S_n-2）=0可得数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，进而可得其通项；通过$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$及b_n=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$•$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n-2}}$•…•$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$•b₁=$\frac{2}{n（n+1）}$可得结论．
（Ⅱ）由题只需要对任意正整数λ＜$\frac{{2}^{n+1}}{n（n+1）}$恒成立．通过$\frac{{2}^{n+1}}{n（n+1）}$-$\frac{{2}^{n}}{n（n-1）}$=$\frac{{2}^{n}（n-3）}{n（n-1）（n+1）}$可得数列的单调性，进而可得结论．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，可得a₂=2，
当n≥3时，S_n-1-2S_n-2=1，
∴a_n-2a_n-1=（S_n-2S_n-1）-（S_n-1-2S_n-2）=0，
即a_n=2a_n-1，
又∵a₂=2a₁，
所以数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
即a_n=2^n-1，n∈N^*；
当n≥2时，T_n-1=（n-1）²b_n-1，
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
∴b_n=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$•$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n-2}}$•…•$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$•b₁=$\frac{2}{n（n+1）}$，显然对n=1也成立．
故b_n=$\frac{2}{n（n+1）}$，n∈N^*；
（Ⅱ）由题意S_n=2ⁿ-1，只需要对任意正整数λ＜$\frac{{2}^{n+1}}{n（n+1）}$恒成立．
记C_n=$\frac{{2}^{n+1}}{n（n+1）}$，当n≥2时，C_n-C_n-1=$\frac{{2}^{n+1}}{n（n+1）}$-$\frac{{2}^{n}}{n（n-1）}$=$\frac{{2}^{n}（n-3）}{n（n-1）（n+1）}$，
当n≥3时数列{C_n}递增；当n≤2时数列{C_n}递减．
易知n=3或2时有最小的项C₂=C₃=$\frac{4}{3}$，
综上：λ＜$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查求数列的通项，考查数列的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．