Question

13．已知θ∈（0，π），且sin（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，则tan2θ=（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{24}{7}$
• D． -$\frac{24}{7}$

Answer 1

分析 由θ∈（0，π），可得$-\frac{3π}{4}＜\frac{π}{4}-θ＜\frac{π}{4}$，又sin（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，可得$（\frac{π}{4}-θ）$∈$（0，\frac{π}{4}）$，因此$cos（\frac{π}{4}-θ）$=$\sqrt{1-si{n}^{2}（\frac{π}{4}-θ）}$．于是cosθ=$cos[\frac{π}{4}-（\frac{π}{4}-θ）]$，可得$sinθ=\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$，利用$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}$即可得出．

解答 解：∵θ∈（0，π），∴$-\frac{3π}{4}＜\frac{π}{4}-θ＜\frac{π}{4}$，
又sin（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴$（\frac{π}{4}-θ）$∈$（0，\frac{π}{4}）$，
∴$cos（\frac{π}{4}-θ）$=$\sqrt{1-si{n}^{2}（\frac{π}{4}-θ）}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
∴cosθ=$cos[\frac{π}{4}-（\frac{π}{4}-θ）]$=$cos\frac{π}{4}cos（\frac{π}{4}-θ）$+$sin\frac{π}{4}sin（\frac{π}{4}-θ）$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{7\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{10}$
=$\frac{4}{5}$，
∵θ∈（0，π），
∴$sinθ=\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{3}{5}$．
∴$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{3}{4}$．
∴tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$=$\frac{2×\frac{3}{4}}{1-（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{24}{7}$．
故选：C．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．