Question

2．若二项式（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6，再求出其通项公式，求出r=0，2，4，6时，为有理项，即可求出概率．

解答 解：因为二项式（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展开式中只有第四项的系数最大，
所以n=6．
所以其通项为T_r+1=${C}_{6}^{r}{x}^{6-\frac{3}{2}r}$
所以r=0，2，4，6时，为有理项，
所以所求概率为$\frac{4}{7}$，
故答案为：$\frac{4}{7}$．

点评 本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果n为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果n为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大．