Question

5．如图，在正四棱锥S-ABCD中，每条侧棱的长都等于底边的长，P为侧棱SD上的动点．
（1）求证：平面PAC⊥平面SBD；
（2）若P为SD的中点，求异面直线SB与PC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）作辅助线易证AC⊥BD，AC⊥SO，可得AC⊥平面SBD，进而可证平面PAC⊥平面SBD；
（2）建立空间直角坐标系易得$\overrightarrow{SB}$和$\overrightarrow{PC}$的坐标，进而可得向量夹角的余弦值，可得答案．

解答 证明：（1）连接AC、BD交于点O，连接SO，
∵四棱锥S-ABCD为正四棱锥，
∴AC⊥BD，AC⊥SO，
又SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
又AC?平面AC，∴平面PAC⊥平面SBD；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
设正四棱锥S-ABCD的棱长均为2，
则B（$\sqrt{2}$，0，0），S（0，0，$\sqrt{2}$），D（-$\sqrt{2}$，0，0），
C（0，$\sqrt{2}$，0），P（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{SB}$=（$\sqrt{2}$，0，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{SB}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{SB}||\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{1+1}{2•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴异面直线SB与PC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查空间角，涉及垂直关系的判定和空间向量的夹角，属中档题．