Question

3．若点P（x，y）满足线性约束条件$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y≤0\\ x-\sqrt{3}y+2≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，点$A（3，\sqrt{3}）$，O为坐标原点，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值为（　　）

• A． 0
• B． 3
• C． -6
• D． 6

Answer 1

分析 设z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$，根据数量积的公式计算出z，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．

解答 解：设z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$，则z=3x+$\sqrt{3}$y，即y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$，由图象可知当直线y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$经过点A时，
直线y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$的截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{x-\sqrt{3}y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，即A（1，$\sqrt{3}$），
此时z=3×1+$\sqrt{3}×\sqrt{3}$=3+3=6，
故$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值为6，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据数量积的公式将条件化简，以及利用数形结合是解决本题的关键．