Question

8．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x²=4$\sqrt{2}$y的焦点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．
（i）若直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，求四边形APBQ面积的最大值；
（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）设椭圆C的方程为 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由条件利用椭圆的性质求得 b和a的值，可得椭圆C的方程．
（Ⅱ）（i）设AB的方程为y=$\frac{1}{2}$x+t，代入椭圆C的方程化简，由△＞0，求得t的范围，再利用利用韦达定理可得 x₁+x₂ 以及x₁+x₂ 的值．再求得P、Q的坐标，根据四边形APBQ的面积S=S_△APQ+S_△BPQ=$\frac{1}{2}$•PQ•|x₁-x₂|，计算求得结果．
（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程为y-1=k（x-2），把它代入椭圆C的方程化简求得x₂+2=$\frac{8k（2k-1）}{1+{4k}^{2}}$．再把直线PB的方程椭圆C的方程化简求得x₂+2 的值，可得 x₁+x₂ 以及x₁-x₂ 的值，从而求得AB的斜率K的值．

解答 解：设椭圆C的方程为 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x²=4$\sqrt{2}$y的焦点（0，$\sqrt{2}$），∴b=$\sqrt{2}$．
再根据离心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}{-b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-2}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得a=2$\sqrt{2}$，∴椭圆C的方程为 $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）（i）设A（ x₁，y₁ ），B（ x₂，y₂），AB的方程为y=$\frac{1}{2}$x+t，
代入椭圆C的方程化简可得 x²+2tx+2t²-4=0，
由△=4t²-4（2t²-4）＞0，求得-2＜t＜2．
利用韦达定理可得 x₁+x₂=-2t，x₁ •x₂=2t²-4．
在 $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，-1），
∴四边形APBQ的面积S=S_△APQ+S_△BPQ=$\frac{1}{2}$•PQ•|x₁-x₂|
=$\frac{1}{2}$×2×|x₁-x₂|=|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{{4t}^{2}-4（{2t}^{2}-4）}$=$\sqrt{16-{4t}^{2}}$，
故当t=0时，四边形APBQ的面积S取得最大值为4．
（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，设PA的斜率为k，则 PB的斜率为-k，
PA的方程为y-1=k（x-2），把它代入椭圆C的方程化简可得（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+4（1-2k）²-8=0，
∴x₁+2=$\frac{8k（2k-1）}{1+{4k}^{2}}$．
同理可得直线PB的方程为y-1=-k（x-2），x₂+2=$\frac{8k（2k+1）}{1+{4k}^{2}}$，
∴x₁+x₂=$\frac{1{6k}^{2}-4}{1+{4k}^{2}}$，x₁-x₂=$\frac{-16k}{1+{4k}^{2}}$，∴AB的斜率K=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$=$\frac{1-k{（x}_{2}-2）-[1+k{（x}_{1}-2）]}{{x}_{2}{-x}_{1}}$ 
=$\frac{4k-k{（x}_{1}{+x}_{2}）}{{x}_{2}{-x}_{1}}$=$\frac{k{（x}_{1}{+x}_{2}）-4k}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=$\frac{k•\frac{1{6k}^{2}-4}{1+{4k}^{2}}-4k}{\frac{-16k}{1+{4k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义、性质的应用，直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式、韦达定理的应用，属于难题．