Question

20．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n．
（Ⅰ）求a₂的值；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：当n≥2时，a_n²=a_n+1-a_n+1；
（ⅱ）若正整数m满足a₁a₂a₃…a_m+2015=a₁²+a₂²+a₃²+…+a_m²，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n，令n=1即得结论；
（Ⅱ）（ⅰ）通过a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n及a_n+1=a₁a₂a₃…a_n-1可得$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}={a_n}$，进而可得结论；
（ⅱ）通过a₁a₂a₃…a_m=1+a_m+1，可得${a_m}^2={a_{m+1}}-{a_m}+1$，利用${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+…+{a_m}^2$=a_m+1+m+2，计算即可结论．

解答 （Ⅰ）解：∵a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n，
∴a₂+1=a₁，∴a₂=a₁-1=1；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：∵a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n，①
∴a_n+1=a₁a₂a₃…a_n-1，（n≥2）．         ②
由①÷②得 $\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}={a_n}$，
∴a_n+1+1=（a_n+1）a_n，
即当n≥2时${a_n}^2={a_{n+1}}-{a_n}+1$；
（ⅱ）解：由a₁a₂a₃…a_m=1+a_m+1，
∵${a_1}^2=4$，
${a_2}^2={a_3}-{a_2}+1$，
${a_3}^2={a_4}-{a_3}+1$，
…
${a_m}^2={a_{m+1}}-{a_m}+1$，
∴${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+…+{a_m}^2$=a_m+1+m+2，
则（1+a_m+1）+2015=a_m+1+m+2，
∴m=2014．

点评 本题考查数列的基本性质，注意解题方法的积累，属于中档题．