Question

20．存在函数f （x）满足：对于任意的x∈R都有f（x²+2x）=|x+a|，则a=（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 假设存在函数f （x）满足条件，设t=x²+2x，则t+1=x²+2x+1=（x+1）²，再化简已知的函数解析式，结合条件可求出a的值和f（x）的解析式．

解答 解：假设存在函数f （x）满足条件，
设t=x²+2x，则t+1=x²+2x+1=（x+1）²，
∵对于任意的x∈R都有f（x²+2x）=|x+a|=$\sqrt{（x+a）^{2}}$，
∴当a=1时，f（x²+2x）=$\sqrt{{（x+1）}^{2}}$，则f（t）=$\sqrt{t+1}$，
即存在函数f （x）=$\sqrt{x+1}$满足：对于任意的x∈R都有f（x²+2x）=|x+1|，
故选：B．

点评 本题是以函数为载体的存在性题目，考查换元法求函数的解析式，以及恒成立问题，考查分析、解决问题能力，属于中档题．