Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n=4a_n-4，数列{b_n} 满足b_n=log₂a_n
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{c_n}满足c_n=b₁+b₂+…+b_n，记T_n=$\frac{1}{c_1}$+$\frac{1}{c_2}$+…+$\frac{1}{c_n}$，求使k•$\frac{{n•{2^n}}}{n+1}$≥（2n-9）T_n 恒成立的实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$得出{a_n}为等比数列，代入b_n=log₂a_n得出{b_n}的通项公式；
（2）求出c_n，使用裂项求和得出T_n，代入不等式得出k≥$\frac{2n-9}{{2}^{n}}$，求出判定数列{$\frac{2n-9}{{2}^{n}}$}的增减性得出最大项，从而得出k的最小值．

解答 解：（1）∵3S_n=4a_n-4 
∴n=1时，3a₁=4a₁-4，∴a₁=4．
当n≥2时，3S_n-1=4a_n-1-4，∴3a_n=3S_n-3S_n-1=4a_n-4a_n-1，即$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=4$，
∴{a_n} 是一个首项为4，公比为4的等比数列，∴${a_n}={4^n}$，
∴b_n=log₂a_n=log₂4ⁿ=2n．
（2）c_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{2+2n}{2}•n$=n（n+1）．
∴T_n=$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+$…+$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∵$k•\frac{{n•{2^n}}}{n+1}≥（2n-9）{T_n}$=$\frac{（2n-9）•n}{n+1}$恒成立，
∴k≥$\frac{2n-9}{{2}^{n}}$恒成立．
设d_n=$\frac{2n-9}{{2}^{n}}$，则d_n+1-d_n=$\frac{2n-7}{{2}^{n+1}}$-$\frac{2n-9}{{2}^{n}}$=$\frac{11-2n}{{2}^{n+1}}$，
∴当n≥6时，数列{d_n}单调递减，当1≤n≤5时，数列{d_n}单调递增；
∴数列{d_n}最大项为d₆=$\frac{3}{64}$，
∴k≥$\frac{3}{64}$．

点评 本题考查了数列通项公式的求法，数列求和及数列单调性的应用，属于中档题．