Question

16．用数学归纳法证明不等式“1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜n（n∈N^*，n≥2）”时，由n=k（k≥2）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（　　）

• A． 2^k-1
• B． 2^k-1
• C． 2^k
• D． 2^k+1

Answer 1

分析 分别写出n=k和n=k+1时，不等式左边的所有项，根据分母特点计算多出的项数．

解答 解：n=k时，左边=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$，
当n=k+1时，左边=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$．
∴左边增加的项数为2^k+1-1-（2^k-1）=2^k+1-2^k=2^k．
故选：C．

点评 本题考查了数学归纳法的证明步骤，属于基础题．