Question

9．已知，$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow a$=（2，1）．
（1）若|$\overrightarrow c$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow c$∥$\overrightarrow a$，求$\overrightarrow c$的坐标；
（2）若|$\overrightarrow b$|=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$与2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$垂直，求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）$设\overrightarrow c=（{x，y}）$，根据向量的平行和向量的模得到关于x，y的方程组，解得即可，
（2）根据向量的垂直和向量的夹角公式，即可求出．

解答 解：（1）$设\overrightarrow c=（{x，y}）$，
∵$|{\overrightarrow c}|=2\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=2\sqrt{5}$，
∴x²+y²=20．
∵$\overrightarrow c∥\overrightarrow a，而\overrightarrow a=（2，1）$，
∴x-2y=0，
∴x=2y，
$由\left\{\begin{array}{l}x=2y\\{x^2}+{y^2}=20\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-2\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=2\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{c}$=（-4，-2）或，$\overrightarrow{c}$=（4，2）
（2）∵$（{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}）⊥（{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}）$，
∴$（{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}）•（{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}）=0，即2{\overrightarrow a^2}+3\overrightarrow a•\overrightarrow b-2{\overrightarrow b^2}=0$，
∴$2{|{\overrightarrow a}|^2}+3\overrightarrow a•\overrightarrow b-2{|{\overrightarrow b}|^2}=0（*）$，
$将|\overrightarrow a|=\sqrt{5}，|\overrightarrow b|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}代入（*）式得2×5+3\overrightarrow a•\overrightarrow b-2×\frac{5}{4}=0⇒\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{5}{2}$，
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|}=-1，又∵θ∈[{0，π}]$，
∴θ=π．

点评 本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．