Question

5．若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1+a_n=4n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记{a_n}的前n项和为S_n，证明$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{9{S}_{i}-1}$＜$\frac{5}{24}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定数列是以2为公差的等差数列，可得a_n=2n-1；
（Ⅱ）运用等差数列的求和公式{a_n}的前n项和为S_n，然后对$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{9{S}_{i}-1}$扩大为=$\frac{1}{8}+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{（3i-1）（3i+1）}$，然后裂项求和即可．

解答 （Ⅰ）解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n=4n，
∴a₂+a₁=4，a₃+a₂=8，a₄+a₃=12，a₅+a₄=16，a₆+a₅=20，…，
∴a₂=3，a₃=5，a₄=7，a₅=9，a₆=11，…，
∴数列{a_n}是以1为首项以2为公差的等差数列，
∴a_n=2n-1，
（Ⅱ）证明：由以上可得，{a_n}的前n项和为S_n=n²；
所以$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{9{S}_{i}-1}$=$\frac{1}{9-1}+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{9{S}_{i}-1}$
=$\frac{1}{8}+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{（3i-1）（3i+1）}$
＜$\frac{1}{8}+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{（3i-2）（3i+1）}$
=$\frac{1}{8}+\frac{1}{3}（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+…+\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$
=$\frac{1}{8}+\frac{1}{3}（\frac{1}{4}-\frac{1}{3n+1}）$＜$\frac{1}{8}+\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{5}{24}$．

点评 本题考查了由数列的递推公式求通项公式以及放缩法证明数列不等式；关键是将$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{9{S}_{i}-1}$扩大为=$\frac{1}{8}+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{（3i-1）（3i+1）}$，然后裂项求和．