Question

15．设椭圆的中心为原点 O，焦点在x轴上，上顶点为 A（0，2），离心率为$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．
（I）求该椭圆的标准方程；
（II）设 B₁（-2，0），B₂（2，0），过 B₁作直线l交椭圆于 P，Q两点，使PB₂⊥QB₂，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）根据题意设出椭圆方程，b=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（II）设出直线方程及点P和Q的坐标，并代入椭圆方程，求得关于y的一元二次方程，由韦达定理求得y₁+y₂和y₁•y₂的表达式，表示出向量$\overrightarrow{{B}_{2}P}$及$\overrightarrow{{B}_{2}Q}$，根据向量数量积的坐标表示，求得$\overrightarrow{{B}_{2}P}$•$\overrightarrow{{B}_{2}Q}$的值，由PB₂⊥QB₂，即$\overrightarrow{{B}_{2}P}$•$\overrightarrow{{B}_{2}Q}$=0，求得m值，写出直线方程．

解答 解：（I）设所给椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
∵$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{4}{5}$，即$\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{5}$，
又∵b²=4，
∴a²=20，
∴$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{4}=1$
（II）由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：x=my-2．
代入椭圆方程得（m²+5）y²-4my-16=0，设 P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则${y_1}+{y_2}=\frac{4m}{{{m^2}+5}}$，${y_1}•{y_2}=-\frac{16}{{{m^2}+5}}$，
又$\overrightarrow{{{B}_2}{P}}=（{{x_1}-2，{y_1}}）$，$\overrightarrow{{{B}_2}Q}=（{{x_2}-2，{y_2}}）$，
所以$\overrightarrow{{{B}_2}{P}}•\overrightarrow{{{B}_2}Q}=（{{x_1}-2}）（{{x_2}-2}）+{y_1}{y_2}=（{m{y_1}-4}）（{m{y_2}-4}）+{y_1}{y_2}=（{{m^2}+1}）{y_1}{y_2}-4m（{{y_1}+{y_2}}）+16$，
=$-\frac{{16（{{m^2}+1}）}}{{{m^2}+5}}-\frac{{16{m^2}}}{{{m^2}+5}}+16=-\frac{{16{m^2}-64}}{{{m^2}+5}}$，
由 P B₂⊥Q B₂得$\overrightarrow{{{B}_2}{P}}•\overrightarrow{{{B}_2}Q}=0$，即16m²-64=0
解得m=±2，
∴直线l的方程为x=±2y-2，即x±2y+2=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，综合性强，属于中档题．