Question

20．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）．设b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$+$\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$+$\frac{1}{{{a_{n+3}}}}$+…+$\frac{1}{{{a_{2n}}}}$，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt+$\frac{1}{6}$＞b_n恒成立，则实数t的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 通过并项相加可知当n≥2时a_n-a₁=2[n+（n-1）+…+3+2]，进而可得数列{a_n}的通项公式a_n=n（n+1），裂项、并项相加可知b_n=$\frac{1}{2n+\frac{1}{n}+3}$，通过求导可知$f（x）=2x+\frac{1}{x}（x≥1）$是增函数，进而问题转化为${t^2}-2mt+\frac{1}{6}＞{（{b_n}）_{max}}=\frac{1}{6}$，计算即得结论．

解答 解：∵a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N），
∴a₂=6，a₃=12，
当n≥2时，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），
并项相加，得：a_n-a₁=2[n+（n-1）+…+3+2]，
∴${a_n}=2[n+（n-1）+…+3+2+1]=2\frac{n（n+1）}{2}=n（n+1）$，
又∵当n=1时，a₁=1×（1+1）=2也满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1），
∴${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}+\frac{1}{{{a_{n+3}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}+\frac{1}{（n+2）（n+3）}+…+\frac{1}{2n（2n+1）}$
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}$
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+1}=\frac{n}{{2{n^2}+3n+1}}=\frac{1}{{2n+\frac{1}{n}+3}}$，
令$f（x）=2x+\frac{1}{x}（x≥1）$，则$f'（x）=2-\frac{1}{x^2}$，
∵当x≥1时，f'（x）＞0恒成立，
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，
故当x=1时，f（x）_min=f（1）=3，即当n=1时，${（{b_n}）_{max}}=\frac{1}{6}$，
要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式${t^2}-2mt+\frac{1}{6}＞{b_n}$恒成立，
则须使${t^2}-2mt+\frac{1}{6}＞{（{b_n}）_{max}}=\frac{1}{6}$，即t²-2mt＞0对?m∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{t^2}-2t＞0}\\{{t^2}+2t＞0}\end{array}}\right.$解得t＞2或t＜-2，
∴实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞），
故答案为：（-∞，-2）∪（2，+∞）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．