Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow a$=（sinA，sinB-sinC）与$\overrightarrow b$=（sinA-$\frac{1}{2}$sinB，sinB+sinC）垂直，且c=2，则△ABC面积的最大值为$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．

Answer 1

分析 先由数量积的运算和正弦余弦定理和基本不等式得到$ab≤\frac{8}{3}$，再根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：由题意，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=sinA（sinA-\frac{1}{2}sinB）+（sinB-sinC）•（sinB+sinC）=0$，
即$sinA（sinA-\frac{1}{2}sinB）={sin^2}C-{sin^2}B$，
由正弦定理得，$a（a-\frac{1}{2}b）={c^2}-{b^2}$，即${a^2}+{b^2}-{c^2}=\frac{1}{2}ab$，
代入余弦定理得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{\frac{1}{2}ab}}{2ab}=\frac{1}{4}$，
所以$sinC=\sqrt{1-{{（\frac{1}{4}）}^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，又由${a^2}+{b^2}-{c^2}=\frac{1}{2}ab$，c=2，
得${a^2}+{b^2}=\frac{1}{2}ab+4≥2ab$，
解得$ab≤\frac{8}{3}$，
所以△ABC面积为$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}•\frac{{\sqrt{15}}}{4}•ab=\frac{{\sqrt{15}}}{8}•ab≤\frac{{\sqrt{15}}}{8}×\frac{8}{3}=\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，
当且仅当$a=b=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$时等号成立，
故△ABC面积的最大值为$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．

点评 本题考查了向量的数量积的运算和正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式和基本不等式，属于中档题．