Question

14．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ}\\{y=co{s}^{2}θ}\end{array}\right.$（0≤θ＜2π）．M是曲线C上的动点，N（0，-1），则MN的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 M（sinθ，cos²θ），代入两点间的距离公式得出|MN|关于θ的函数，根据cosθ的取值范围得出|MN|的最小值．

解答 解：∵M是曲线C上的动点，∴M（sinθ，cos²θ）．
|MN|²=sin²θ+（cos²θ+1）²=cos⁴θ+2cos²θ+sin²θ+1=cos⁴θ+cos²θ+2=（cos²θ+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$．
∵0≤cos²θ≤1，
∴当cos²θ=0时，|MN|²取得最小值2．
∴|MN|的最小值为$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程的应用，两点间的距离公式，属于基础题．