Question

4．甲、乙两人各自独立地进行射击比赛，甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．
（Ⅰ）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
（Ⅱ）求两人各射击3次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记“甲连续射击3次至少有1次未击中目标”为事件A₁，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，由此能求出甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率．
（Ⅱ）记“甲射击3次，恰有2次击中目标”为事件A₂，“乙射击3次，恰有1次击中目标”为事件B₂，甲、乙射击相互独立，由此能求出两人各射击3次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．

解答 解：（Ⅰ）记“甲连续射击3次至少有1次未击中目标”为事件A₁，
由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，
故P（A₁）=1-P（$\overline{{A}_{1}}$）=1-（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{19}{27}$．…（4分）
（Ⅱ）记“甲射击3次，恰有2次击中目标”为事件A₂，
“乙射击3次，恰有1次击中目标”为事件B₂，
则P（A₂）=${C}_{3}^{2}×（\frac{2}{3}）^{2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{4}{9}$，
P（B₂）=${C}_{3}^{1}×（\frac{3}{4}）×（1-\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{9}{64}$．
由于甲、乙射击相互独立，
故P（A₂B₂）=P（A₂）P（B₂）=$\frac{4}{9}×\frac{9}{64}$=$\frac{1}{16}$．…（8分）

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意独立重复试验、相互独立事件概率乘法公式的合理运用．