Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且．
（1）试求{a_n}的通项公式；
（2）若，试求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）n=1时，a₁=1-a₁，a₁=，
∵①，∴S_n+1=1-a_n+1②，
②-①得a_n+1=-a_n+1+a _n，∴a_n+1=a _n，
∴数列{a_n}是首项为a₁=，公比q=的等比数列，
∴a_n==
（2）
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，③
2T_n=1×2²+2×2³+3+3×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，④
③-④得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2 ⁿ⁺¹③，
=-n×2 ⁿ⁺¹③，
整理得T_n=（n-1）2 ⁿ⁺¹+2
分析：（1）n=1时，a₁=1-a₁，a₁=，由已知得出S_n+1=1-a_n+1②，与已知相减并整理，构造数列{a_n}是首项为a₁=，公比q=的等比数列，通项公式易求．
（2），利用错位相消法求和即可．
点评：本题主要考查等比数列的判定、通项公式求解，错位相消法数列求和．考察转化、变形构造、推理论证、计算能力．