Question

已知函数=，.

(Ⅰ)求函数在区间上的值域；

（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由.

Answer 1

 解：(Ⅰ)   在区间上单调递增，在区间上单调递减,且

         的值域为      ………………3分

（Ⅱ）令，则由(Ⅰ)可得，原问题等价于：对任意的在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数  …………………5分

   

当时, ,.s 在区间上递减，不合题意

当时, ,在区间上单调递增，不合题意

当时, ,在区间上单调递减，不合题意

当即时, 在区间上单调递减; 在区间上单递增，由上可得，此时必有的最小值小于等于0 而由可得，则

综上，满足条件的不存在。………………………..8分

（Ⅲ）设函数具备性质“”，即在点处的切线斜率等于，不妨设，则，而在点处的切线斜率为，

故有………………10分

即，令，则上式化为，

………………12分

令，则由可得在上单调递增，故，即方程无解，所以函数不具备性质“”. ……………………14分