Question

设函数．

（1）求的单调区间；

（2）当时，若方程在上有两个实数解，求实数的取值范围；

（3）证明：当时，．

 

Answer 1

（1）时，在上是增函数；时，在上单调递增，在上单调递减.（2），（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）求函数单调区间，首先明确定义域，再求导，由于含有参数，需分类讨论根的情况. 时，，所以在上是增函数．当时，由，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）本题考查函数与方程思想，实际研究直线与函数图像交点有两个的情况，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，且，所以当时，方程有两解．（3）本题关键在于构造函数，首先将两变量分离，这要用到取对数，即因此只需证，即证为单调减函数，可利用导数，再结合（1）的结论，可证.

试题解析：（1）．

①时，，∴在上是增函数． 1分

②当时，由，由，

∴在上单调递增，在上单调递减. 4分

（2）当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，

又， 6分

∴．

∴当时，方程有两解． 8分

（3）∵.∴要证：只需证

只需证：．

设， 10分

则．

由（1）知在单调递减， 12分

∴，即是减函数，而．

∴，故原不等式成立． 14分

考点：利用导数求单调区间，利用导数证不等式