Question

选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分．
（1）（几何证明选讲选做题） PA与圆O切于A点，PCB为圆O的割线，且不过圆心O，已知∠BPA=30°，PA=2，PC=1，则圆O的半径等于________．
（2）（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，过点（）作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是________．

Answer 1

解：（1）过O作OE⊥BC于E，连接OA，交AB于F
∵PA与圆O切于A点，
∴PA²=PC•PB，即（2）²=1•PB，得PB=12
∴AB=PB-PC=11，可得BE=BC=5.5
∵PA与圆O切于A点，
∴OA⊥PA，得Rt△PAF中，AF=PAtan30°=2，PF=2AF=4
∵Rt△OEF中，∠OFE=∠PFA=90°-30°=60°，EF=PB-BE-PF=2.5
∴OF==5，可得圆O的半径为R=OF+AF=7
（2）点A（）化成直角坐标为A（2，2），而圆C：ρ=4sinθ的直角坐标方程是x²+y²-4y=0
∵2²+2²-4×2=0
∴点A（2，2）适合圆C方程，得点A是圆C上的点
∵圆C的圆心为（0，2），得AC的斜率k==0，
∴过A与AC垂直的直线为x=2，即为过A点与圆C相切的直线
因此切线的极坐标方程是ρcosθ=2
故答案为：7 ρcosθ=2
分析：（1）过O作OE⊥BC于E，连接OA，交AB于F．由切割线定理，得PA²=PC•PB，求得PB=12，再结合垂直于弦的直径，得到BE=BC=5.5，然后在Rt△PAF中，算出AF=PAtan30°=2，PF=2AF=4，最后在Rt△OEF中算出OF=5，即可得到圆O的半径为7；
（2）将极坐标化成直角坐标，得到已知点恰好在已知圆上，利用切线垂直于过切点的半径，可得到切线的直角坐标方程，最后将此方程化成极坐标方程即可．
点评：本题给出圆的切线长和割线长求圆的半径，并且在已知直线与圆的极坐标的情况下求切线的方程，着重考查了与圆有关系的比例线段和简单曲线的极坐标方程等知识，属于中档题．