Question

6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2b=a+c，且B=$\frac{π}{4}$，则cosA-cosC的值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $±\sqrt{2}$
• C． $\root{4}{2}$
• D． ±$\root{4}{2}$

Answer 1

分析 通过a、b、c成等差数列以及正弦定理得到关系式，利用和差化积，二倍角公式以及三角形的内角和，推出cos $\frac{A-C}{2}$=2sin $\frac{B}{2}$，求出sin $\frac{A-C}{2}$，利用和差化积化简cosA-cosC，代入B，即可求出结果．

解答 解：∵2b=a+c；
据正弦定理有：a=2RsinA；b=2RsinB；c=2RsinC；
代入2b=a+c，化简，得：2sinB=sinA+sinC=2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$=2sin$\frac{π-B}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$=2cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$=4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$；
∵cos$\frac{A-C}{2}$=2sin$\frac{B}{2}$；sin$\frac{A-C}{2}$=±$\sqrt{1-4{sin}^{2}\frac{B}{2}}$=±$\sqrt{1-2（1-cosB）}$=±$\sqrt{2cosB-1}$，
∴cosA-cosC=-2sin$\frac{A+C}{2}$sin$\frac{A-C}{2}$
=±2cos$\frac{B}{2}$
=±$\sqrt{2（1+cosB）（2cosB-1）}$
=±$\sqrt{4cosB-2+4{cos}^{2}B-2cosB}$
=±$\sqrt{2cosB-2+4{cos}^{2}B}$
=±$\sqrt{\sqrt{2}-2+2}$=±$\root{4}{2}$；
故选：D．

点评 此题考查了正弦定理，积化和差公式，等差数列的性质，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．