Question

13．四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，且该球的表面积为$\frac{81π}{4}$，则该棱锥的高为（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $\frac{7}{4}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用条件确定球的直径，利用勾股定理，即可求棱锥的高．

解答 解：可以将四棱锥P-ABCD补成球的内接长方体，其对角线PC即为球的直径．
∵球的表面积为$\frac{81π}{4}$，
∴球的半径为$\frac{9}{4}$，
设PA=x，则PC的长等于$\sqrt{4+4+{x}^{2}}$=$\frac{81}{4}$，即x=$\frac{7}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查球的表面积公式，构造长方体是解决本题的关键．