Question

8．正项等差数列{a_n}满足a₁=4，且a₂，a₄+2，2a₇-8成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d＞0，由已知得：a₂•（2a₇-8）=$（{a}_{4}+2）^{2}$，代入化简解出，利用等差数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）b_n=$\frac{4}{（2n+2）（2n+4）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d＞0，由已知得：a₂•（2a₇-8）=$（{a}_{4}+2）^{2}$，即（4+d）[2（4+6d）-8]=（6+3d）²，
化简得：d²+4d-12=0，解得：d=2或d=-6（舍），
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2．
（Ⅱ）b_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（2n+2）（2n+4）}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{n}{2n+4}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．