Question

19．已知椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$．两个焦点分别为F₁，F₂，点P为椭圆C上一点，△F₁PF₂的周长为12．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若|PF₁|：|PF₂|=11：5，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+2c=12}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，又b²=a²-c²．联立解出即可得出椭圆C的方程．
（2）由|PF₁|：|PF₂|=11：5，|PF₁|+|PF₂|=8，联立解得|PF₁|，|PF₂|．又|PF₁|=a+ex_P，解得x_P．利用S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y_P|，即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+2c=12}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，c=2．
∴b²=a²-c²=12．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）由|PF₁|：|PF₂|=11：5，|PF₁|+|PF₂|=8，联立解得|PF₁|=$\frac{11}{2}$，|PF₂|=$\frac{5}{2}$．
|PF₁|=a+ex_P=4+$\frac{1}{2}$x_P=$\frac{11}{2}$，解得x_P=3.${y}_{P}^{2}$=12-（1-$\frac{9}{16}$）=$\frac{21}{4}$，解得|y_P|=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y_P|=$\frac{1}{2}×4×$$\frac{\sqrt{21}}{2}$=$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．