Question

【题目】设n≥2，n∈N* ， 有序数组（a1 ， a2 ， …，an）经m次变换后得到数组（bm ， 1 ， bm ， 2 ， …，bm ， n），其中b1 ， i=ai+ai+1 ， bm ， i=bm﹣1 ， i+bm﹣1 ， i+1（i=1，2，…，n），an+1=a1 ， bm﹣1 ， n+1=bm﹣1 ， 1（m≥2）．例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）．
（1）若ai=i（i=1，2，…，n），求b3 ， 5的值；
（2）求证：bm ， i= ai+jCmj ， 其中i=1，2，…，n． （注：i+j=kn+t时，k∈N* ， i=1，2，…，n，则ai+j=a1）

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意（1，2，3，4，5，6，7，8，…，n），

第一次变换为（3，5，7，9，11，13，15，…，n+1），

第二次变换为（8，12，16，20，24，28，…，n+4），

第三次变换为（20，28，36，44，52，…，n+12），

∴b3，5=52

（2）解：用数学归纳法证明：对m∈N*，bm，i= ai+jCmj，其中i=1，2，…，n，

（i）当m=1时，b1，i= ai+jC1j，其中i=1，2，…，n，结论成立，

（ii）假设m=k时，k∈N*时，bk，i= ai+jCkj，其中i=1，2，…，n，

则m=k+1时，bk+1，i=bk，i+bk，i+1= ai+jCkj+ ai+j+1Ckj= ai+jCkj+ ai+j+1Ckj﹣1，

=aiCk0+ ai+j（Ckj+Ckj﹣1）+ai+k+1Ckk，

=aiCk+10+ ai+jCk+1j+ai+k+1Ck+1k+1，

= ai+jCk+1j，

所以结论对m=k+1时也成立，

由（i）（ii）可知，对m∈N*，bm，i= ai+jCmj，其中i=1，2，…，n成立

【解析】（1）根据新定义，分别进行1次，2次，3次变化，即可求出答案，（2）利用数学归纳法证明即可．