Question

已知函数f（x）=x²-ax+ln（x+1）（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的极值点；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上恒有f′（x）＞x，求实数a的取值范围；
（3）已知c₁＞0，且c_n+1=f′（c_n）（n=1，2，…），在（2）的条件下，证明数列{c_n}是单调递增数列．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论．
（2）因f′（x）=2x-a+

1

x+1

，由f′x）＞x，分参数得到：a＜x+

1

x+1

，再利用函数y=x+

1

x+1

的最小值即可得出求实数a的取值范围．
（3）本题考查的知识点是数学归纳法，要证明当n=1时，c₂＞c₁成立，再假设n=k时c_k+1＞c_k，c_k＞0成立，进而证明出n=k+1时c_k+2＞c_k+1，也成立，即可得到对于任意正整数n数列{c_n}是单调递增数列．

解答：解：（1）a=2时，fx）=x²-2x+ln（x+1），则f′（x）=2x-2+

1

x+1

=

2x 2-2

x+1

，
f′x）=0，x=±

2

2

，且x＞-1，
当x∈（-1，-

2

2

）∪（

2

2

，+∞）时f′x）＞0，当x∈（-

2

2

，

2

2

）时，f′x）＜0，
所以，函f（x）的极大值点x=-

2

2

，极小值点x=

2

2

．
（2）因f′（x）=2x-a+

1

x+1

，f′x）＞x，
2x-a+

1

x+1

＞x，
即a＜x+

1

x+1

，
y=x+

1

x+1

=x+1+

1

x+1

-1≥1（当且仅x=0时等号成立），
∴y_min=1．∴a≤1
（3）①当n=1时，c₂=f′（x）=2c₁-a+

1

c 1+1

，
又∵函y=2x+

1

x

当x＞1时单调递增，c₂-c₁=c₁-a+

1

c 1+1

=c₁+1+

1

c 1+1

-（a+1）＞2-（a+1）=1-a≥0，
∴c₂＞c₁，即n=1时结论成立．
②假设n=k时，c_k+1＞c_k，c_k＞0则n=k+1时，
c_k+1=f′（c_k）=2c_k-a+

1

c 1+1

，
c_k+2-c_k+1=c_k+1-a+

1

c k+1+1

=c_k+1+1+

1

c k+1+1

-（a+1）＞2-（a+1）=1-a≥0，
c_k+2＞c_k+1，即n=k+1时结论成立．由①，②知数{c_n}是单调递增数列．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的极值、数列与函数的综合、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．