Question

某同学在研究函数f（x）=x²e^x的性质时，得到如下的结论：
①f（x）的单调递减区间是（-2，0）；
②f（x）无最小值，无最大值
③f（x）的图象与它在（0，0）处切线有两个交点
④f（x）的图象与直线x-y+2012=0有两个交点
其中正确结论的序号是

①④

．

Answer 1

分析：①求导函数，令f′（x）＜0，可得f（x）的单调递减区间；
②令f′（x）＞0，可得f（x）的单调递增区间，即可得到结论；
③求得函数在（0，0）处切线方程，结合f（x）=x²e^x＞0，可得结论；
④由②及f（x）=x²e^x＞0，即可得到f（x）的图象与直线x-y+2012=0有两个交点．

解答：解：求导函数，可得f′（x）=x²e^x=（2x+x²）e^x，
①令f′（x）＜0，可得2x+x²＜0，∴-2＜x＜0，∴f（x）的单调递减区间是（-2，0），即①正确；
②令f′（x）＞0，可得2x+x²＞0，∴x＜-2或x＞0，∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-2），（0，+∞），∴函数在x=-2处取得极大值，且为最大值；在x=0处取得极小值，且为最小值，即②不正确；
③f′（0）=0，f（0）=0，则函数在（0，0）处切线方程为y=0，∵f（x）=x²e^x＞0，∴f（x）的图象与它在（0，0）处切线有一个交点（0，0），即③不正确；
④由②及f（x）=x²e^x＞0，即可得到f（x）的图象与直线x-y+2012=0有两个交点，即④正确，
综上可知，正确结论的序号是①④
故答案为：①④

点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．