Question

已知△ABC中，a=2

3

，若

m

=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)满足

m

•

n

=

1

2

．（1）若△ABC的面积S=

3

，求b+c的值．（2）求b+c的取值范围．

Answer 1

（1）∵

m

=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)，且

m

•

n

=

1

2

，
∴-cos2

A

2

+sin2

A

2

=

1

2

，即cosA=-

1

2

，
又A为三角形的内角，
∴A=120°，又a=2

3

，
由余弦定理得：b2+c2-2bc(-

1

2

)=(2

3

)2，即（b+c）²-bc=12①，
又S=

1

2

bcsinA=

3

，sinA=

3

2

，
∴bc=4，
将bc=4代入①得：b+c=4；
（2）由（1）得到的（b+c）²-bc=12变形得：

3

4

（b+c）²+

1

4

（b-c）²=12，
即

3

4

（b+c）²=12-

1

4

（b-c）²≤12，
∴（b+c）²≤16，即b+c≤4，
又b+c＞a=2

3

，
则b+c的取值范围是（2

3

，4]．