Question

6．有一解三角形的题目因纸张破损，有一条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a=$\sqrt{3}$，2cos²$\frac{A+C}{2}$=（$\sqrt{2}$-1）cosB，c=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，求角A，若该题的答案是A=60°，请将条件补充完整．

Answer 1

分析 利用诱导公式、二倍角公式求得B，再利用两角和的正弦公式求得sin75°的值，再利用正弦定理求得c的值．

解答 解：在△ABC中，∵已知a=$\sqrt{3}$，2cos²$\frac{A+C}{2}$=（$\sqrt{2}$-1）cosB，
∴1+cos（A+C）=（$\sqrt{2}$-1）cosB，
即 1-cosB=（$\sqrt{2}$-1）cosB，∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴B=$\frac{π}{4}$．
若A=60°，则C=180°-A-B=75°，sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
则由正弦定理可得$\frac{c}{sin75°}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$，求得c=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查诱导公式、二倍角公式，两角和的正弦公式，正弦定理，属于基础题．