Question

已知

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0）．若f（x）=

m

•

n

，且f（x）相邻两对称轴间的距离不小于

π

2

．
（1）求ω的取值范围；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=

3

，b+c=3（b＞c），当ω取最大时，f（A）=1，求边b，c的长．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，借助于平面向量的数量积运算，同时，结合二倍角和辅助角公式化简函数解析式，然后，根据周期的限制条件，得到ω的取值范围；
（2）首先，确定A的取值，然后，结合余弦定理，求解边b，c的长．

解答： 解：（1）∵f（x）=

m

•

n

，即：

f(x)=cos2ωx-sin2ωx+2 3 cosωxsinωx =cos2ωx+ 3 sin2ωx=2sin(2ωx+ π 6 )

，
由题意：

π

2ω

≥

π

2

，
∵ω＞0，∴0＜ω≤1．             
（2）∵ω的最大值是1，
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
∵f（A）=1，∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
而

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，∴2A+

π

6

=

5

6

π，∴A=

π

3

．  
由余弦定理：cosA=

1

2

=

b2+c2-a2

2bc

，
即b²+c²-bc=3，又b+c=3（b＞c）
联立解得：b=2，c=1．

点评：本题重点考查二倍角公式、辅助角公式，两角和与差的三角公式，余弦定理等知识，考查比较综合，属于中档题．